Piet Hein
Sergels Torg, Stockholm
Mexico Stadium
DGI-town - Swimming pool
Proposal for town-planning, Petersborough - Canada.
Piet Hein's model of Superelliptic skyscraper put into trickfoto.

Superellipse

Die 'Superellipse': eine Kurve, die zwischen der Ellipse und dem Rechteck liegt.

SCIENTIFIC AMERICAN September 1965:
Der zivilisierte Mensch ist auf allen Seiten, drinnen und draußen, von einem subtilen, selten bemerkten Konflikt umgeben, der sich zwischen zwei Möglichkeiten bewegt, Dinge zu formen: orthogonal und rund. Autos, die auf runden Rädern und mit den Händen auf kreisförmigen Lenkrädern auf Straßen gesteuert werden, die sich wie Linien eines rechteckigen Gitters schneiden. Gebäude und Häuser sind hingegen zum größten Teil aus rechten Winkeln geformt, die gelegentlich durch kreisförmige Kuppeln und Fenster aufgelockert werden. Wir sitzen an rechteckigen oder runden Tischen, mit rechteckigen Servietten auf den Schoß und essen von kreisförmigen Tellern und trinken aus Gläsern mit kreisförmigen Querschnitten. Wir zünden zylindrische Zigaretten mit Streichhölzern aus rechteckigen Packungen an, und wir zahlen unsere Rechnungen mit rechteckigen Banknoten und kreisförmigen Münzen.

Selbst unsere Spiele kombinieren das Orthogonale und das Runde. Die meisten Outdoor-Sportarten werden mit Kugeln auf rechteckigen Feldern gespielt. Indoor-Spiele, von Pool bis Checker, sind ähnliche Kombinationen von rund und rechteckig. Rechteckige Spielkarten werden in einer fächer- bzw. kreisförmigen Anordnung gehalten. Die Buchstaben auf dieser rechteckigen Seite sind Versatzstücke von rechten Winkeln und Kreisbögen. Wohin man auch schaut, man sieht eine Menge an Quadraten und Kreisen und ihre affin gestreckten Formen: Rechtecke und Ellipsen. (In gewissem Sinne erscheint die  Ellipse häufiger als der Kreis, denn jeder Kreis erscheint elliptisch, wenn er von einem Winkel aus betrachtet wird). In der neuen Kunst und dem Textil-Design, das hier im Juli vorgestellt wurde, schlagen Quadrate, Kreise, Rechtecke und Ellipsen so heftig aneinander wie sie es im täglichen Leben tun.

Der dänische Schriftsteller und Erfinder Piet Hein stellte sich kürzlich eine spannende Frage: Was ist die einfachste und angenehmste, geschlossene Kurve, die zwischen diesen beiden widerstreitenden Richtungen vermittelt? Ursprünglich ein Wissenschaftler, ist Piet Hein (er wird immer mit beiden Namen angesprochen) in ganz Skandinavien für seine 24 enorm populären Ausgaben anmutig aphoristischer Gedichte (Kritiker haben diese mit den Epigrammen von Martial verglichen) und für seine Schriften über wissenschaftliche und humanistische Themen berühmt. Den Lesern dieser Zeitschrift ist er als Erfinder des Spiels Hex (Juli 1957), einem neuen Spiel ähnlich wie Nim (Februar 1958), dem Soma-Würfel (September 1958), einem Flecht-Spiel (Dezember 1959) und anderen bemerkenswerten Erfindungen bekannt. Er war ein Freund des verstorbenen Norbert Wiener, dessen letztes Buch 'Gott und Golem, Inc.', ihm gewidmet ist.

Die Frage, die Piet Hein sich selbst stellte, wurde durch ein knorriges, städtebauliches Problem aufgeworfen, das im Jahr 1959 in Schweden zu lösen war. Viele Jahre zuvor hatte Stockholm beschlossen, einen Bereich alter Häuser und enger Gassen im Herzen der Stadt dem Erdboden gleichzumachen und neu bebauen zu lassen. Nach dem Zweiten Weltkrieg kam dieses enorme und kostspielige Programm in Gang [siehe "Stockholm: eine geplante Stadt", von Göran Sidenbladh, Seite 106]. Zwei neue, breite Verkehrsadern liefen in Nord-Süd- und Ost-West-Richtung durch das Zentrum der Stadt. An der Kreuzung dieser Straßen wurde ein großer rechteckiger Platz, etwa 200 Meter lang, angelegt. In seinem Zentrum sollte ein ovales Becken mit einer Fontäne von einem großen, ovalen Pool mit mehreren hundert kleineren Fontänen umgeben sein. Tageslicht sollte durch den lichtdurchlässigen Boden des Pools in ein ovales Selbstbedienungsrestaurant unter der Straße dringen, umgeben von ovalen Ringen von Säulen und Geschäften. Darunter sollte es zwei weitere ovale Etagen für Essen und Tanzen, Garderoben und Küche geben.

Bei der Planung der genauen Form dieses Zentrums stießen die schwedischen Architekten auf unerwartete Tücken. Die Ellipse musste abgelehnt werden, weil ihre spitzen Enden den glatten Verkehrsfluss stören würden. Außerdem passte sie nicht harmonisch auf den rechteckigen Platz. Die Stadtplaner versuchten dann, eine Kurve aus acht Kreisbögen zu bilden, aber die Anmutung wirkte zusammengeflickt mit einem hässlichen Versatz in der Krümmung an acht Stellen. Darüber hinaus galt es, verschieden große, ovale Formen einzufügen, aber die "Acht-Bogen-Kurve" weigerte sich, dies auf eine ansprechende Art und Weise zu ermöglichen.

In diesem Stadium konsultierte das, für das Projekt verantwortliche, Architekten-Team Piet Hein. Es war genau die Art von Problem, die seine kombiniert mathematische und künstlerische Phantasie, seinen Sinn für Humor und seine Gabe ansprach, kreatives Denken in unerwartete Richtungen zu lenken. Welche Art von Kurve, weniger spitz als die Ellipse, könnte er entdecken, die sich angenehm und harmonisch in die realen Werte der Gleichung von x und y einfügten (im modernen Jargon das "solution set") und die die Punkte auf dem Graph bestimmen, der auf einer Ellipse liegt, mit dem Mittelpunkt im Ursprung der beiden Koordinaten. Wenn n von 2 in Richtung 1 sinkt, wird das Oval an seinen Enden spitzer (Piet Hein nannte das "Sub-Ellipsen"). Wenn n = 1 ist, dann ist die Figur ein Parallelogramm. Wenn n kleiner als 1 ist, sind die vier Seiten konkave Kurven, die in dem Maß konkaver werden, in dem sich n 0 nähert. Bei n = 0 hat man zwei gerade, gekreuzte Linien.
Wenn n größer sein darf als 2,
die rechteckige Freifläche im Herzen von Stockholm?
Um die Neuartigkeit von Piet Heins Antwort zu verstehen, müssen wir zunächst die Ellipse, so wie er es tat, als Spezialfall einer allgemeineren Familie von Kurven mit folgender Formel und kartesischen Koordinaten betrachten:

an + bn 1 '

wobei a und b nicht gleiche Parameter sind (willkürliche Konstanten), die die beiden Halbachsen der Kurve darstellen, und n eine beliebige positive reale Zahl ist.
Wenn n=2 ist, dann entwickelt das Oval zunehmend flachere Seiten und wird mehr und mehr zu einem Rechteck. In der Tat ist das Rechteck die Grenze, wenn n gegen unendlich strebt. An welchem ​​Punkt aber ist eine solche Kurve am angenehmsten für den Betrachter? Piet Hein legte sich auf n = 232' fest. Mit Hilfe eines Computers wurden 400 Koordinatenpaare bis auf 15 Dezimalstellen berechnet, und größere, präzise Kurven wurden in vielen verschiedenen Größen gezeichnet, die alle mit dem gleichen Höhe-Breite-Verhältnis ausgestattet waren (um den Anteilen an offener Fläche in der Mitte von Stockholm zu entsprechen). Die Kurven erwiesen sich als seltsam befriedigend, weder zu rund noch zu orthogonal, eine glückliche Mischung aus elliptischer und rechteckiger Schönheit. Darüber hinaus könnte eine solche Kurve geschachtelt werden (s. Abbildungen auf Seite 224), um ein starkes Gefühl von Harmonie und Parallelität zwischen den konzentrischen Ovalen zu vermitteln. Piet Hein nennt solche Kurven mit Exponenten über 2 'Superellipsen'. Stockholm akzeptierte sofort die 2132'-Exponenten-Superellipse als Grundform seiner neuen Stadtmitte. Die riesige, teils unterirdische Struktur ist zur Zeit im Bau und soll 1967 abgeschlossen werden. Wenn das gesamte Center fertig gestellt ist, wird erwartet, dass es eine der großen touristischen Attraktionen (auf jeden Fall für Mathematiker!) in Schweden wird.

Inzwischen wurde Piet Heins Superellipse mit Begeisterung von Bruno Mathsson, einem bekannten schwedischen Möbeldesigner, aufgenommen. Er produzierte zunächst eine Vielzahl von superelliptischen Schreibtischen, die ihren Weg in die  Büros vieler schwedischer Führungskräfte fanden und anschließend superelliptische Tische, Stühle und Betten, nach dem Motto: Wer braucht die Ecken? Unternehmen aus Dänemark, Schweden, Norwegen und Finnland wenden sich an Piet Hein, um Lösungen für verschiedene orthogonal bzw. kreisförmige Probleme zu bekommen. Entsprechend arbeitet er viel an Entwürfen für superelliptische Möbel, Geschirr, Untersetzer, Lampen, Besteck, textile Muster und so weiter. Die Tische, Stühle und Betten verkörpern zudem eine weitere Piet Hein-Erfindung: ungewöhnliche, selbst klammernde Beine, die leicht entfernt und angebracht werden können.

"Die Superellipse hat die gleiche überzeugende Einheit wie Kreis und Ellipse, ist aber weniger offensichtlich und weniger banal", schrieb Piet Hein in einem führenden dänischen Magazin für angewandte Kunst und Industriedesign. (Das Cover der Zeitschrift war weiß und zeigte die kontrastierende schwarze Linie einer Superellipse, die mit der Formel der Kurve beschriftet war.)
"Die Superellipse ist mehr als nur eine neue Modeerscheinung", bestätigt Piet Hein. "Sie ist ein Relief aus der Zwangsjacke der einfacheren Kurven mit den ersten und zweiten Befugnissen der Geraden und der Kegelschnitte."  Übrigens darf man Piet Heins Superellipse nicht mit den - oberflächlich betrachtet ähnlichen - kartoffelförmigen Kurven verwechseln, die man oft bei der Front von Fernsehgeräten sieht. Diese sind selten mehr als ovale Versatzstücke von verschiedenen Arten von Bögen, und es fehlt jede Formel, die den Kurven eine ästhetische Einheit hätte verleihen können.

Wenn die Achsen der Ellipse gleich sind, ergibt sich natürlich ein Kreis. Wenn in der Kreis-Formel (x - + y2 = 1) der Exponent 2 durch eine höhere Zahl ersetzt wird, wird die Kurve grafisch betrachtet zu dem, was Piet Hein 'Supercircle' nannte. Bei 2332 erhält man einen echten 'squared circle' (quadratischen Kreis) in dem Sinne, dass das Ergebnis in der Mitte zwischen den beiden Extremen (Kreis und Quadrat) liegt. Die wechselnde Form der Kurven, mit der allgemeinen Formel X '+ yn = 1 für n im Bereich von 0 bis unendlich, sind unten graphisch dargestellt. Wenn der Graph gleichmäßig, d.h. entlang einer Achse (einer der affinen Transformationen) gestreckt würde, zeigt er die Familie von Kurven, in der Ellipse, Sub-Ellipse und Superellipse Mitglieder sind.
In gleicher Weise kann man den Exponenten in den entsprechenden kartesischen Formeln für Kugeln und Ellipsoide erhöhen, was Piet Hein als 'Superkugeln' und als 'Superellipse' bezeichnete. Ist der Exponent 212, können solche Objekte als Kugeln und Ellipsoide bezeichnet werden, die auf halbem Weg sind, als Würfel und Quader angesehen zu werden.
Das wahre 'Ellipsoid' mit drei ungleichen Achsen hat die Formel (a/x) + (b/y) = c, wobei a, b und c ungleiche Parameter sind, die die Hälfte der Länge der einzelnen Achsen repräsentieren. Wenn die drei Parameter gleich sind, ist die Figur eine Kugel. Wenn nur zwei gleich sind, wird die Oberfläche als ein 'Rotationsellipsoid' oder ein 'Sphäroid' bezeichnet. Es wird durch Drehen einer Ellipse auf einer ihrer Achsen erzeugt. Wenn die Rotation auf der längeren Achse erfolgt, ergibt sich ein 'Pro-Ende-Sphäroid', d.h. eine Art Eiform mit kreisförmigem Querschnitt senkrecht zur Achse.

Es stellt sich heraus, dass ein solides Modell eines gestreckten 'Pro-Ende-Sphäroids' mit homogener Dichte, ähnlich einem Hühnerei, nicht mehr aufrecht balancieren kann, es sei denn man fügt dem Ei eine Kriegslist hinzu, wie sie in der Regel Columbus nachgesagt wird. Columbus kehrte 1493 nach Spanien zurück, nachdem er Amerika entdeckt hatte, dass er allerdings für Indien hielt. Unabhängig davon nahm er dies als Beweis dafür, dass die Erde rund war. In Barcelona wurde ein Bankett zu seinen Ehren gegeben. Girolamo Benzoni erzählt die Geschichte in seiner Geschichte der Neuen Welt (Venedig, 1565) folgendermaßen (ich zitiere aus einer frühen englischen Übersetzung):
"Columbus war auf einem Fest mit vielen edlen Spaniern ... als einer von Ihnen sagte: "Herr Christopher, auch wenn Sie noch nicht die Indies gefunden haben, sollten wir darüber Einigkeit erzielen, dass es hier nicht einen Mann gibt, der nicht das gleiche erreicht hätte, was Sie erreicht haben, denn unser eigenes Land Spanien ist voll von großen Männern, die sowohl in Kosmographie als auch Literatur bewandert sind." Columbus antwortete nicht darauf, bat aber darum, dass man ihm ein Ei bringen möge, das er mit den Worten auf den Tisch legte: "Meine Herren, ich wette gegen jeden von Ihnen, dass Sie nicht in der Lage sind, das Ei so nackt und ohne Zutaten zum Stehen zu bringen, wie ich es kann." Alle versuchten es, aber es gelang niemandem, es zum Stehen zu bringen. Als die Reihe an Columbus war, stellte er das Ei auf den Tisch, indem er es leicht gegen den Tisch klopfte und so das Ende etwas aufbrach. Alle waren aufgebracht, aber verstanden, dass es leicht ist, etwas nachzumachen, wenn jemand anderes es vorgemacht hat.
Die Geschichte mag wahr sein, aber eine verdächtig ähnliche Geschichte hatte 15 Jahre früher Giorgio Vasari in seinen berühmten Lebensbeschreibungen der berühmtesten Maler, Bildhauer und Architekten (Florenz, 1550) erzählt. Der junge Filippo Brunelleschi, der italienische Architekt, hatte eine ungewöhnlich große und schwere Kuppel für Santa Maria del Fiore (eine Kathedrale in Florenz) entworfen. Vertreter der Stadt verlangten, sein Modell zu sehen, aber er weigerte sich, und schlug stattdessen vor, wer auch immer in der Lage sei, ein Ei auf einer glatten Mamorfläche zum Stehen zu bringen, der sollte die Kuppel  bauen, denn so könnte man den Intellekt eines jeden Mannes feststellen. Alle Meister versuchten daraufhin, ein Ei zum Stehen zu bringen, aber keiner fand eine Lösung. Woraufhin Filippo dem Ei einen leichten Schlag auf dem Marmor versetzte und es so zum Stehen brachte. Die Handwerker protestierten, sie hätten dies ebenfalls tun können, aber Filippo antwortete lachend, dass sie auch die Kuppel bauen könnten, wenn sie sein Modell oder den Entwurf sähen. So wurde beschlossen, dass er mit der Durchführung beauftragt werden sollte."

Die Geschichte kann noch getoppt werden, denn als die große Kuppel schließlich fertig war (viele Jahre später, aber Dekaden vor Columbus' erster Reise), hatte sie die Form von einem halben Ei, das an seinem Ende abgeflacht war.

Was hat all dies mit dem Super-Ei zu tun? Nun, Piet Hein (übrigens meine Quelle für den Verweis auf Columbus und Brunelleschi) entdeckte, dass ein solides Modell von einem 2,2-Exponenten-Super-Ei sofort und ohne Trick auf einer der beiden Seiten balancieren kann. Tatsächlich stehen heute hölzerne genauso wie silberne Super-Eier überall in Skandinavien geduldig auf einer ihrer Seiten.
Betrachten Sie das hölzerne Super-Ei auf dieser Seite, das einen Exponenten von 2,5 und ein Höhe-Breite-Verhältnis von 4.03 hat. Es sieht so aus, als ob es stürzen müsste, tut es aber nicht. Diese gespenstische Stabilität vom Super-Ei (sie gilt für beide Seiten) kann als Symbol für die Balance zwischen dem superelliptischen Orthogonal und dem Runden gelten. Und dies ist wiederum ein schönes Symbol für den ausgewogenen Geist von Personen wie Piet Hein, die so erfolgreich zwischen C.P. Snows 'zwei Kulturen' vermitteln. Mit Hilfe von Piet Hein entwarf der CEO von Georg Jensen Inc. in New York City ein balancierendes, silbernes Super-Ei mit einem Exponenten von 2,5 und einem Höhe-Breite-Verhältnis von 6.05. Es war 15 Zentimeter hoch und 12 Zentimeter breit. Er stiftete es Herlufholm, dem dänischen Eton, als Preis und Auszeichnung für den Studenten, der den ungewöhnlichsten Beitrag zur Verknüpfung unterschiedlichster Bereiche leistete. Piet Hein, der sich in Vorlesungen und Veröffentlichungen ausführlich mit der Balance von wissenschaftlichen und humanistischen Anschauungen auseinandersetzte, plant selbst einen internationalen Preis, ein goldenes Super-Ei, für Leistungen zu stiften, die diese Balance fördern.

Diese 23-Exponenten 'Rotations-Superellipsen' sind nicht die einzigen, die solide Eier formen, die an jedem Ende aufrecht stehen können. Vergleichbare balancierende Eier können konstruiert werden, wenn eine Superellipse rotiert wird, die einen Exponent höher als 2 hat. Je höher der Exponent, desto höher und dünner kann solch ein Super-Ei sein, bevor es das kritische Höhe-Breite-Verhältnis erreicht und umstürzt. Man könnte so, bevor man das infinite Exponentenlimit erreicht, ein 'Ei' rotieren, das nur einen Zentimeter dick, aber so hoch wie das Empire State Building ist und - zumindest theoretisch - stehen bleibt. So ein 'Ei', dass durch die Rotation eines Rechtecks entsteht, ist einfach ein rechteckiger Zylinder, der eine perfekt flache, runde Basis hat. Tatsächlich gibt es kein Limit für das Höhe-Breite-Verhältnis hinsichtlich der Stabilität eines solchen Zylinders.
Kann der Leser beweisen - auch ohne sich in die Komplexität von Infinitesimalrechnungen zu begeben - dass es möglich ist, ein stabiles Ei zu konstruieren, das höher als breit ist, solange der Exponent laut der Super-Ei-Formel größer als 2 ist? Piet Heins einfachen Beweis erhalten Sie nächsten Monat.